Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу Также, опираясь на формулу Эйлера (впервые открытую Леонардом Эйлером) (5) ei = cos + isin, где е – основание натурального логарифма (иррациональное число, примерно равное е = 2.71828…), используют логарифмическую запись (форму) комплексных чисел: (6) z = rei. Величина r в логарифмической записи комплексного числа z = rei называется модулем, а величина - аргументом числа z. Логарифмическая запись особенно удобна для выражения умножения комплексных чисел: (7) z1z2 = r1ei1 r2ei2 = r1r2ei(1+2), т.е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если изображать число z на плоскости Аргана вектором (a,b), то модуль r = |z| = (a2 + b2) – это длина вектора, а аргумент Arg(z) = - это угол, на который вектор (a,b) отложен относительно направления оси х – см. рис.2. Рис.2. Модуль и аргумент комплексного числа на плоскости Аргана. Против часовой стрелки от оси х откладываются положительные углы, по часовой стрелке – отрицательные углы. Поскольку тригонометрические функции sin и cos периодичны с периодом 2, то для них будут выполнены равенства: (8) sin = sin( + 2k), cos = cos( + 2k), где |k| = 0,1,2,3,… Поэтому аргумент Arg(z) комплексного числа z определён как множество бесконечного числа углов вида + 2k, где |k| = 0,1,2,3,…. Величину - в этом случае называют главным значением аргумента Arg(z) числа z и обозначают arg(z). Комплексные числа – очень загадочные числа, которые таят в себе много тайн и красивых закономерностей. В целом, можно сказать, что они гораздо в большей степени содержат в себе 42
43 Publizr Home