44

Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу числом, в том числе вида ny. Если же в аксиоме Архимеда взять обратные величины, то получим отрицание бесконечно малых (положительная бесконечно малая – это величина, меньшая любого положительного вещественного числа). Задача: докажите более строго, используя аксиому Архимеда, что среди вещественных чисел нет бесконечно больших и бесконечно малых величин. Кроме того, множество вещественных чисел является полным полем, т.е. любая сходящаяся последовательность в этом поле имеет предел как элемент этого же поля. Чтобы разобраться с этим свойством, нам нужно понять, что такое сходящаяся последовательность и предел. Бесконечная последовательность вещественных чисел {an} n=1 = {a1,a2,a3,…} – это последовательность вещественных чисел an, идущих в определённом порядке, до бесконечности. Поскольку элементов в такой последовательности бесконечно много, то её нельзя задать простым перечислением всех элементов, но только через формулу (функцию), которая содержит закон изменения некоторой переменной. Например, {1/n} n=1 = {1,1/2,1/3,…} – это последовательность чисел вида 1/n, где n=1,2,3,…. Здесь n – переменная по натуральным числам, 1/n – закон (функция), через который задаётся последовательность. Последовательность {an} n=1 называется сходящейся, если для неё выполнено следующее условие: (1) ε0 N n,mN: |an - am|  ε – для любого вещественного числа ε, где ε0, найдётся такое натуральное число N, что для любых натуральных чисел n,m больше N верно |an - am|  ε. Это значит, что какое бы маленькое положительное число ε мы ни взяли, всегда найдётся такой номер N членов последовательности, что все элементы последовательности с номерами, больше N, будут находиться между собой на расстоянии, меньше ε. Иными словами, с увеличением номера, элементы последовательности всё более близко прилежат друг к другу – сходятся между собой. Отсюда и название: «сходящаяся последовательность». Ещё одно важное понятие – понятие предельной последовательности и предела. Говорят, что число а является пределом последовательности {an} n=1, если выполнено следующее условие: (2) ε0 N nN: |a – an|  ε – для любого вещественного числа ε , где ε0, найдётся такое натуральное число N, что для любого натурального числа n больше N верно |a – an|  ε. Это свойство похоже на свойство сходимости (1), но всё же несколько отличается от него. В свойстве (2) утверждается, что элементы последовательности лежат не между собой всё более близко с увеличением порядкового номера, а всё более близко в отношении к числу а, т.е. они как бы сходятся к этому числу, всё больше приближаясь к нему, - как бы в пределе, когда 44

45 Publizr Home