Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу Задача: выведите правила для умножения и деления, используя свойство (1). Если определить таким образом операции на комплексных числах, то оказывается, что они образуют поле, лишь за тем исключением, что для них не определён порядок, т.е. если взять два комплексных числа w и u, то в общем случае нельзя сказать, какое из них больше, а какое меньше. Задача: покажите выполнение аксиом поля (коммутативная группа по сложению и умножению, дистрибутивность) для множества комплексных чисел. Комплексные числа обычно интерпретируют как векторы на плоскости, когда по оси х откладываются вещественные числа, по оси у – мнимые, так что числу z = a + ib сопоставляется вектор (a,b) с координатами a и b – см. рис.1. Рис.1 Изображение комплексного числа на плоскости. В честь французского математика Жана Аргана, впервые предложившего интерпретировать комплексные числа на плоскости, такая плоскость называется плоскостью Аргана6. Часто также используют выражение комплексная плоскость. Задача: исследуйте, как будут выглядеть операции сложения и умножения комплексных чисел на плоскости Аргана. Для числа z = a + ib комплексно сопряжённым числом называют число вида z* = a – ib = a + i(-b). Числа z и z* называются комплексно сопряжёнными. Задача: выясните, как на плоскости Аргана изображаются комплексно сопряжённые числа. Докажите, что z** = z. Запись комплексного числа вида z = a+ib называется алгебраической записью (формой). Кроме неё, используется также тригонометрическая запись (форма): (4) z = r(cos + isin), где а = rcos, b = r sin. 6 Хотя вместе с Арганом и независимо от него такую же интерпретацию использовали математики Каспар Вессель и Иоганн Гаусс, так что комплексную плоскость называют иногда и их именами, например, плоскостью Гаусса. 41
42 Publizr Home