Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу (5) limx→x0f(x) = f(x0) – читается «предел f от х при х стремящемся к х0 равен f от х0». Используя понятие непрерывности функции в точке, можно определить непрерывность функции на интервале (a,b) = {x: axb} – множестве всех тех х, что ха и хb. Функция непрерывна на интервале (а,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. В подобной манере начинает строиться математический анализ, в котором, хотя и запрещены актуальные бесконечно малые и бесконечно большие величины, но они активно используются как потенциальные величины. В данных выше определениях сходящейся и предельной последовательности, непрерывности функции мы видим одну методологию, которая иногда называется «εδязыком». В этом случае актуальная конструкция бесконечно малой заменяется стремящимся к нулю процессом (потенциальной бесконечно малой), например, стремящимся к нулю расстоянием между элементами сходящейся последовательности или расстоянием между элементами предельной последовательности и пределом. Актуальная бесконечно малая 1/ заменяется на стремящийся к нулю процесс, который обозначается в виде bn→0 или x→0, или f(x)→0. Аналогично актуальная бесконечно большая величина заменяется на стремящиеся к бесконечности процессы: bn→ или x→, или f(x)→. Стремление вида bn→0 в терминах εδ-языка можно определить следующим образом: (6) ε0 N nN: |bn| ε. Это же стремление кодируется записью limn→bn = 0. Стремление вида bn→ может быть определено в следующем виде: (7) ε0 N nN: bn ε или в виде кодировки limn→bn = . Именно такие процессы стремления к бесконечному являются главными в математическом анализе. Здесь, с одной стороны, запрещены (в силу аксиомы Архимеда), актуальные бесконечные величины (бесконечно малые или бесконечно большие), а, с другой, их использование и есть самая суть математического анализа как нового математического аппарата (во времена своего формирования математический анализ даже назывался «анализом бесконечных»). Решением этого парадокса явился переход от актуального к потенциальному, когда актуальные бесконечные величины стали систематически заменяться стремящимися к ним процессами (потенциальными бесконечностями). Эта техника принадлежит Ньютону и его последователям, в то время как Лейбниц предлагал использовать актуальные бесконечные. Но в его время не удалось создать строгий аппарат выражения бесконечных как актуальных величин. И развитие теории бесконечных пошло по пути Ньютона. Только во 2-й половине 20го века удалось создать строгую версию математического анализа, где использовались актуальные бесконечные, - это так называемый нестандартный анализ, созданный Абрахамом Робинсоном. 46
47 Publizr Home