Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу Лекция 1. О поле, линейном (векторном) пространстве и операторах © Моисеев В.И., 2017 В математике есть система следующих понятий: 1. Отображение – это сопоставление каждому элементу одного множества элементов другого множества элементов. Обозначается обычно так: F: A→B, когда каждому х из В сопоставляется F(x) – подмножество из В. А – область определения, В – область значения F. Если F(х) – это один элемент, то отображение называют однозначным. Если существует такой х из А, что F(x) – это множество на нескольких элементах, то F называют многозначным отображением. 2. Функция – это однозначное отображение, обычно на числах. 3. Оператор – это однозначное отображение, обычно на более сложных объектах, чем числа, например, на векторах или функциях. Если А – оператор, х – его аргумент, то Ах = у – значение оператора А на х. Часто рассматривают операторы на векторах, когда аргументы и значения операторов – векторы. В квантовой механике операторы действуют на функции, которые также могут быть представлены как векторы в специальных функциональных пространствах. Множество элементов R называется полем, если на нём заданы двуместные операции + и , и выполнены следующие аксиомы (для любых элементов , и γ из R): 1. Коммутативная группа по сложению 1.1. + = + 1.2. (+)+γ = +(+ γ) 1.3. Найдётся такой элемент 0 из R, что +0 = 1.4. Для каждого найдётся такой элемент -, что +(-) = 0 2. Коммутативная группа по умножению 2.1. = 2.2. ()γ = (γ) 2.3. Найдётся такой элемент 1 из R, что 1 = 2.4. Для каждого найдётся такой элемент 1/, что (1/) = 1 3. Дистрибутивность ( + γ) = + γ 4. Аксиомы порядка 36
37 Publizr Home