50

Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу нужно различать два множества вещественных чисел: 1) то, которое изоморфно множеству R* - его можно обозначить R(1), и 2) то, в которое вложено множество R*, - обозначим его R(2). Ничего нового не возникает для множества R* только в отношении к множеству R(1). Что же касается множества R(2), то оно даёт как бы внешний взгляд на R*, представляя его как ограниченное множество – интервал (-М,М), - имеющий конечные верхний и нижний пределы. Такой внешний взгляд на множество R*, когда оно рассматривается как подмножество объемлющего множества R(2), можно выражать идеей внешней метрики множества R* и его структур, т.е. когда элементы и структуры из R* интерпретируются как таковые из R(2). Возьмём любой элемент х* из множества R*. По определению, для него существует прообраз х такой, что х* = R-1М(х), т.е. элемент х* образован обратной R-функцией из хR(1). Поскольку х* принадлежит множеству R*, которое является подмножеством множества R(2), то х* можно представить и как элемент R(2). И если х* находится в отношении R-изоморфизма со своим прообразом х, то представление х* как элемента R(2) выходит за границы Rизоморфизма. Лучше всего это можно увидеть на примере аксиомы Архимеда. Для множества R* можно сформулировать свой R-аналог аксиомы Архимеда: для любых чисел х* и у*, где х*у*, найдётся такое число n*, что n*y*  x*. Порядок на элементах из R* изоморфен порядку на элементах из R(1), так что я его обозначил не *, а просто . Но, конечно, точнее было бы и здесь использовать символ «*» для обозначения порядка из R*. R-аксиома Архимеда утверждает, что множество элементов из R* архимедово, т.е. не существует максимального или минимального элемента, который нельзя было бы превысить или преуменьшить. Посмотрим теперь на множество R* как подмножество R(2). Поскольку R* занимает только конечный интервал (-М,М) на множестве R(2), то здесь легко найти такое число х из R(2), которое будет больше любого элемента из R*. Например, таким числом является верхняя граница интервала М. Здесь имеем: (4) х*  М - для любого х* из R*, т.е. ни одним элементом из R* нельзя превысить число М. Соотношение (4) появляется у нас благодаря тому, что множество R* оказывается подмножеством R(2), и любой элемент х* из R* является одновременно элементом из R(2), в связи с чем на него могут быть распространены структуры из R(2), например, отношение порядка из R(2). Именно это отношение порядка фигурирует в (4), выражая неархимедовость множества R* с точки зрения множества R(2). А это уже новый момент, выходящий за границы R-изоморфизма. В частности, все величины, которые в рамках R(2) лежат правее М, и само число М, могут рассматриваться как такие величины, которые для множества R* играют роль бесконечно большого, поскольку любой такой элемент больше любого элемента из R*, что в терминах 50

51 Publizr Home