Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу прообразного для R* множества R(1) можно рассматривать как бесконечно большое. В итоге мы получаем первый эффект релятивности (относительности) количества в Rанализе: то, что выступает как бесконечно большое для множества R(1), оказывается конечным для множества R(2), и подобной трансформацией мы обязаны R-функциям, отображающим R(1) в R* и обратно, при одновременном вложении R* в R(2). Лекция 6. Бесконечно малые в R-анализе © Моисеев В.И., 2018 Мы продолжаем знакомиться с R-анализом. В прошлой лекции мы рассмотрели понятие и примеры R-функций, а также коснулись проблемы финитизации бесконечного. В этой лекции мы посмотрим, что будет, если средствами R-анализа выразить идею бесконечно малого. Бесконечно большие величины – это величины, больше всех конечных величин. И благодаря внешней метрике, мы смогли выразить такие величины: 1) сжав всё множество вещественных чисел R(1) в интервал R* = (-М,М), 2) вложив этот интервал в множество R(2), где появляются величина М и все величины, больше неё, которые начинают играть для R* роль бесконечно большого. Теперь давайте обратимся к теме бесконечно малого. По аналогии с бесконечно большим, бесконечно малое – это такая положительная величина, которая меньше всех положительных конечных величин, т.е. она лежит между нулём и всеми положительными конечными величинами. Но где ей здесь уместиться? Ведь положительные вещественные числа сколь угодно близко подходят к нулю, и сколь бы малое положительное вещественное число мы ни взяли, всегда найдётся такое положительное число, которое ещё меньше. Это и есть аксиома Архимеда в приложении к бесконечно малому: среди вещественных чисел нет бесконечно малых. Также не вполне понятно, смогут ли здесь помочь R-функции. В самом деле, чтобы получить бесконечно большие, нам достаточно было сжать все вещественные числа и погрузить их обратной R-функцией в объемлющее множество вещественных чисел R(2). А чтобы найти место бесконечно малым, нам что, нужно как-то разжать промежуток между нулём и всеми вещественными числами? Как это сделать? По крайней мере, ясно, что базовые R-функции нам здесь помочь не смогут, поскольку они непрерывно и взаимно однозначно отображают множество вещественных чисел в себя в окрестности нуля. В то же время, если мы введём хотя бы одно бесконечно малое число ε, то можно будет ввести и любое другое бесконечно малое число вида хε, где х – вещественное число. В самом деле, если бы это было не так, и число хε было бы не бесконечно малым, а обычным 51
52 Publizr Home