Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу вещественным числом, то бесконечно малое ε = хε/х можно было бы получить простым делением числа хε на х, т.е. делением одного вещественного числа на другое. Но результат деления одного вещественного числа на другое есть также вещественное число (почему?), а среди вещественных чисел, согласно аксиоме Архимеда, нет бесконечно малых. Следовательно, произведение хε – это не вещественное число, т.е. также бесконечно малое число. Но тогда бесконечно малых будет столько же, сколько вещественных чисел, и все они должны умещаться вокруг нуля и между всеми вещественными ненулевыми числами, образуя некоторую бесконечно малую окрестность нуля, которая в нестандартном анализе называется «монадой», в честь Лейбница и его монадологии – см. рис.1. Рис.1. Символическое изображение бесконечно малой окрестности («монады») нуля как результата разжатия множества вещественных чисел вокруг нуля. Чтобы уместить бесконечно малые вокруг нуля и разжать ноль в монаду, введём ещё одну R-функцию, которую назовём монадической. Это будет та же базовая R-функция, но с малым верхним порогом m, т.е. прямую базовую R-функцию можно написать в виде R+1m, обратную – в виде R-1m. Точнее даже дело не в величине порога, а в том, как монадическая функция взаимодействует с базовой R-функцией. Изобразим разжатие нуля в монаду таким образом, что сопоставим нулю интервал (m,+m), который является областью значения обратной монадической R-функции, т.е. (1) (-m,+m) = R-1m(R), где R – множество вещественных чисел. Мы как бы смотрим в микроскоп, и на месте нуля начинаем видеть конечный интервал (m,+m) – монаду нуля (см. рис.1). Точно также, на месте любой вещественной точки х мы начинаем видеть монаду х: (2) (х-m,x+m) = х + R-1m(R). Итак, каждой вещественной точке х мы начинаем сопоставлять монаду этой точки. Точку х можно называть центром своей монады (х-m,x+m). 52
53 Publizr Home