Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу - вычитание: (х1,у1) - (х2,у2) = (х1-х2,у1-у2), - умножение: (х1,у1) (х2,у2) = (х1х2,х1у2+х2у1), - деление: (х1,у1) : (х2,у2) = (х1:х2,(х2у1-х1у2)/х22). На парах (х,у) можно ввести порядок по правилам: (4) (х1,у1) (х2,у2) (х1х2) ((х1=х2) (у1у2)). Теперь можно интерпретировать величины (0,у) как бесконечно малые, а величины (х,0) – как конечные. Покажем, что положительные бесконечно малые лежат между нулём и всеми положительными конечными. Положительная бесконечно малая – это пара (0,у), где у0. Положительная конечная величина – это пара (х,0), где х0. Ноль – это пара (0,0). Тогда, используя определение порядка (4), получим (докажите!): (5) (0,0) (0,у) (х,0). Таким образом, в самом деле, пары (0,у) можно рассматривать как бесконечно малые величины в отношении к конечным величинам (х,0). Это значит, что только для множества конечных величин (х,0) и только для множества бесконечно малых (0,у) аксиома Архимеда не выполняется, хотя она выполнена для всего множества пар (х,у). Задача: проверьте выполнение аксиомы Архимеда для множества всех пар (х,у). Введём для пар (х,у) два вида отображений r0 и r1, которые будем называть 0- и 1реализациями: (6) r0(x,y) = x, (7) r1(x,y) = x + R-1m(y). 0-реализация выражает режим замыкания х-монады, когда все монадические элементы (х,у) отображаются в центр монады х и оказываются неразличимыми. Что же касается 1-реализации, то ею предполагается, что элементы монады могут проявляться в множестве R(1), чем выражен режим размыкания х-монады. Но конечно в этом случае они перестают быть бесконечно малыми, и оказываются некоторыми конечными величинами. Возможность режима размыкания и 1-реализации монад позволяет нам называть монадические элементы не столько бесконечно малыми, сколько несравнимо малыми, поскольку их бесконечность или конечность оказывается теперь результатом сравнения (соизмерения) одного количественного слоя с другим. 0-реализация выражает полную несоизмеримость монадического и базового количественных слоёв, что можно выразить как ортогональность вещественных пространств R(х,2) и R(1), в то время как 1-реализация представляет их полную соизмеримость, что можно выразить как полную параллельность пространств R(х,2) и R(1). Наконец, когда множество R(1) сжимается обратной базовой R-функцией в множество R*, 54
55 Publizr Home