Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу то 1-реализация x-монады изменится и примет следующий вид: (8) r1(x,y) = R-1M(x + R-1m(y)). Так может быть реализована идея «разжатия нуля» и вставления в этот «разжатый ноль» множества (монады) бесконечно малых величин. Для этого нам понадобилось дополнить базовые R-функции монадическими и скоординировать их между собой в правиле 1 реализации (8). В качестве простейшего примера применения R-анализа несравнимо малых величин, рассмотрим парадокс кучи (сорит), когда складываются песчинки, и поначалу их множество не есть куча, а потом возникает новый объект – куча. Здесь парадокс: из нулей (песчинок) возникает не ноль (куча). Чтобы разрешить этот парадокс, представим величину одной песчинки как монадическую величину (0,у). Сколько бы ни складывали их тем сложением, которое было определено для пар, всегда будет получаться монадическая величина: (9) Σn(0,yn) = (0,Σyn), т.е. таким путём куча никогда возникнуть не может, если под кучей понимать немонадическую (конечную) величину вида (х,0), где х0. Следовательно, если куча всё же возникает, то имеет место некое иное сложение, которое можно выразить как сложение 1-реализаций монадических величин: (10) Σnr1(0,yn) = ΣnR-1m(yn). Пока эта сумма меньше верхней границы монады m, мы можем считать её не отличающейся от сложения вида (9), поскольку для сложения в (9) получим: (11) r1Σn(0,yn) = r1(0,Σyn) = R-1m(Σyn) m. Но когда сумма вида (10) впервые превысит m для некоего n, то суммы вида (10) и (11) уже нельзя будет отождествлять, так что сумму вида (10) нельзя будет представить как 1реализацию монадической величины, в то время как для неё найдется такой х0, что будет верно следующее равенство: (12) r1(x,0) = x = Σnr1(0,yn) m. В итоге сумма монадических величин (нулей) станет конечной величиной (не нулём). Как видим, решение парадокса обязано различению двух сумм: 1) (внешне) складывает 1-реализации), 2) сумме (10) как сумме 1-реализаций – такую сумму можно называть внешней (она сумме (11) как 1-реализации суммы – такую сумму можно называть внутренней, она складывает 1-реализации внутренне – через R-сложение: R-1m(a+b) = R-1m(a)-1R-1m(b), где индекс «-1» указывает на монадический количественный слой как слой минус-первого порядка (первого монадического порядка) относительно слоя базового количества. В итоге парадокс решается переходом от внутренней к внешней сумме монадических 55
56 Publizr Home