Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу без бесконечно малых, то мы должны были бы также перейти к парам и построить исчисление пар, аналогичное таковому для бесконечно малых. Но давайте сейчас сделаем нечто большее – введём бесконечно большие величины, сохраняя одновременно и бесконечно малые величины. Это потребует введения троек вещественных чисел следующего вида: (2) (q,x,y), где q будут обозначать бесконечно большие, х – базовые и у – бесконечно малые величины. Определим на таких тройках следующие операции: - сложение: (q1,х1,у1) + (q2,х2,у2) = (q1+q2,х1+х2,у1+у2), - вычитание: (q1,х1,у1) - (q2,х2,у2) = (q1-q2,х1+х2,у1+у2), - умножение: (q1,х1,у1) (q2,х2,у2) = (q1x2+q2x1, q1y2+х1х2+y1q2, х1у2+х2у1). Задача: определите операцию деления, исходя из её обратности операции умножения. Здесь могут быть определены группы по сложению с нейтральным элементом 0 = (0,0,0) и по умножению с нейтральным элементом 1 = (0,1,0). Задача: проверьте, что элемент (0,1,0) является нейтральным элементом для определённой выше операции умножения на тройках. На тройках (q,х,у) можно ввести порядок по правилам: (3) (q1,х1,у1) (q2,х2,у2) (q1q2) ((q1=q2) (x1x2)) ((q1=q2) (х1=х2) (у1у2)). Теперь можно интерпретировать величины (0,0,у) как бесконечно малые, величины (0,х,0) – как конечные, а (q,0,0) – как бесконечно большие. Покажем, что положительные бесконечно большие лежат между бесконечностью и всеми положительными конечными величинами. Положительная бесконечно большая – это тройка (q,0,0), где q0. Положительная конечная величина – это тройка (0,х,0), где х0. Бесконечность – это тройка (,0,0). Тогда, используя определение порядка (3), получим (докажите!): (4) (0,х,0) (q,0,0) (,0,0). Таким образом, в самом деле, тройки (q,0,0) можно рассматривать как бесконечно большие величины в отношении к конечным величинам (0,х,0). Это значит, что только для множества конечных величин (0,х,0) и только для множества бесконечно больших (q,0,0) аксиома Архимеда не выполняется, хотя она выполнена для всего множества троек (q,х,у). Задача: проверьте выполнение аксиомы Архимеда для множества всех троек (q,х,у). Также, по-прежнему, для троек существуют и актуальные бесконечно малые, т.е. можно доказать, что (5) (0,0,0) (0,0,у) (0,х,0), где х0 и у0. В этом случае тройка (0,0,у) выражает бесконечно малую величину. Таким образом, мы расширяем средства R-анализа на бесконечно большие и бесконечно 58
59 Publizr Home