Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу некоторый оператор: координате – оператор координаты, импульсу – оператор импульса и т.д. Эти операторы действуют на том же пространстве, где определены функции состояний. Операторы подбираются специальным образом. Чтобы понять принципы такого подбора, нужно знать, что такое собственные функции и собственные значения оператора. Если Н – векторное пространство12 над полем комплексных чисел, и А – оператор на этом пространстве, - элемент из Н, то А действует на и образует новый элемент А из Н. Но среди всех элементов Н можно попытаться найти такие, для которых выполнено уравнение вида: (1) А = λ, где λ – комплексное число. Такие элементы , для которых выполнено условие (1), называются собственными функциями (векторами) оператора А, а числа λ – собственными значениями А. Уравнение (1) называется уравнением на собственные векторы (функции) оператора А. Множество всех собственных значений оператора А называется его спектром. В квантовой механике для выражения физических величин (наблюдаемых) используются специальные операторы, которые имеют только вещественный спектр. Такие операторы называются эрмитовыми или самосопряжёнными. Так вот, каждой физической величине подбирается свой эрмитов оператор, спектр которого интерпретируется как все возможные значения этой величины, которые можно наблюдать в эксперименте. Далее оказывается, что собственные функции эрмитового оператора образуют множество векторов в пространстве Н, которые являются базисом пространства Н, т.е. любой вектор из Н может быть разложен в суперпозицию (сумму с коэффициентами) этих векторов. В итоге в квантовой механике используется такая схема. - Объект заменяется на его -функцию, которая является элементом пространства Н, - Наблюдаемые физические величины представляются эрмитовыми операторами А, спектр которых выражает значения этих наблюдаемых. Поскольку функция состояния объекта является одним из элементов пространства Н, то её также можно разложить по базису собственных векторов оператора А. Если, например, спектр оператора А дискретный, т.е. представлен вещественными числами а1, а2, а3,…, и каждому числу аi соответствует своя собственная функция i оператора А, т.е. выполнено условие: (2) Аi = aii, то функция состояния объекта может быть разложена по всем i в виде суперпозиции: (3) = Σ i=1wii, где wi – комплексные числа. В этом случае выполняется следующее соотношение: квадрат модуля величины wi, т.е. 12 В квантовой механике пространство Н – это одновременно функциональное пространство, где роль векторов играют специальные функции. 62
63 Publizr Home