Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу механике соответствуют некоммутирующие операторы А и В, то мы можем лишь символически выразить состояние как состояние некоей «дополнительности» классических состояний а и b. Более строго это состояние выражается принципом неопределённости Гейзенберга, который записывается обычно в виде неравенства: (7) ΔаΔb d, где Δа = (Da) – среднеквадратичное отклонение (корень квадратный из дисперсии Da) случайной величины а, и d – некоторое положительное число, которое можно было бы называть «параметром дополнительности». Например, для координаты х и проекции рх импульса на х получается соотношение: (8) ΔхΔрх ћ/2, где ћ – постоянная Планка-Дирака. Если брать нижнюю границу соотношения неопределённости (7), то получим равенство ΔаΔb = d, откуда имеем обратную пропорциональность для среднеквадратичных отклонений дополнительных наблюдаемых: (9) Δа = d/Δb, т.е. чем меньше будет одна мера неопределённости, тем больше будет другая и наоборот. В итоге все наблюдаемые в квантовой механике разбиваются на коммутирующие и некоммутирующие между собой. Максимальное число коммутирующих наблюдаемых образует так называемый полный набор наблюдаемых величин. В классической механике есть только один полный набор, включающий все наблюдаемые, а в квантовой механике наблюдаемые разделяются на несколько полных наборов, дополнительных между собой. Итак, в квантовой механике объект заменяется своей -функцией. И тогда динамические уравнения для объекта, которые задают закон его движения (например, законы Ньютона), должны быть заменены на закон изменения -функции объекта. В качестве основного динамического уравнения квантовой механики выступает уравнение Шредингера, которое для одномерного движения объекта по оси х имеет следующий вид: (10) iћ/t = ((-ћ2/2m)2/x2 + U(x)). Это уравнение определяет динамику изменения -функции во времени. Слева стоит производная -функции по времени (с коэффициентом), а справа стоит оператор Н^ = (ћ2/2m)2/x2 + U(x), который называется гамильтонианом и образован из выражения для полной энергии, так что первое слагаемое (-ћ2/2m)2/x2 выражает оператор кинетической энергии, а второе слагаемое U(x) – оператор потенциальной энергии системы. Поскольку функция нормирована (квадрат её модуля выражает полную вероятность, т.е. равен единице), то её изменение может выражаться только в поворотах (вращениях) в пространстве Н. Такое преобразование называется унитарным, и, следовательно, гамильтониан должен обеспечивать только такое преобразование своих аргументов. 64
65 Publizr Home