Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу Отображение, которое сопоставляет каждому вектору х из Х вещественное число |x|, называется нормой, если выполнены следующие условия: 1) |x|0, 2) |x| = |||x|, где || - модуль числа , 3) |x + y| |x| + |y| - неравенство треугольника. Задача: показать, что |0| = 0 – норма нулевого вектора равна нулю. Отображение, которое каждой паре векторов х и у из Х сопоставляет вещественное число (х,у), называется расстоянием между х и у (метрикой на х и у), если выполнены следующие условия: 1) (х,у) = 0 если только если (е.т.е.) х=у – аксиома тождества, 2) (х,у) = (у,х) – аксиома симметрии, 3) (х,z) (х,у) + (y,z) – аксиома треугольника. Задача: показать, что (х,у)0. Метрика и норма связаны между собой. Если дана норма |х|, то метрику (х,у) можно определить по правилу: (х,у) = |x-y|. Задача: показать выполнение аксиом метрики в этом случае, используя аксиомы нормы И наоборот, если определена метрика (х,у), то можно определить норму по правилу: |x| = (х,0). Задача: показать выполнение аксиом нормы в этом случае, используя аксиомы метрики. Скалярным произведением (х,у) векторов х и у из пространства Х называется отображение из Х в поле F такое, что выполнены следующие свойства: 1) (x,x)0, и (x,x)=0 е.т.е. х=0, 2) (x,y) = (y,x)*, где * - число, комплексно-сопряжённое к , если F – поле комплексных чисел (если - вещественное число, то * = ), 3) (х + у,z) = (x,z) + (y,z), где , - элементы поля F. Если дано скалярное произведение в пространстве Х, то на его основе можно определить норму по следующим правилам: (х,х) = |x|2, т.е. |x| = (x,x). Наоборот, если дана норма, то можно определить скалярное произведение по следующему правилу: (x,y) = |x||y|cos(x,y), где cos(x,y) – косинус угла между векторами х и у. 39
40 Publizr Home