Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу Таким образом, все три понятия – норма, метрика и скалярное произведение – связаны между собой. Вводя одно из них, можно ввести и два других. Эти конструкции позволяют ввести числовые определения векторов – длину вектора (норма), расстояние между векторами (метрика), угол между векторами (скалярное произведение). Векторное пространство Х с заданным на нём скалярным произведением называется евклидовым пространством. Задача: рассмотреть пространство цветов как векторное пространство, определить его размерность, понять, что будет нулём этого пространства, что будет означать домножение вектора на число в этом случае и т.д. Лекция 3. Комплексные числа © Моисеев В.И., 2017 Комплексные числа – это числа вида a+ib, где a, b – вещественные числа, и i – мнимая единица5, для которой выполнено равенство (1) i2 = -1 или (2) (-1) = i. Во избежание противоречий, запись вида (-|х|), где х – вещественное число, |x| - модуль х, и |x|1, принято записывать в виде i(|x|). Задача: покажите, что если не следовать этому правилу, то для умножения (-3)(-3) получится неверный результат. Для комплексного числа z = (a+ib) компонента а называется вещественной, а компонента b – мнимой частью числа z. Используются следующие обозначения: Re(z) = a, Im(z) = b. Замечу, что сами a и b – это вещественные числа. Комплексное число -z, противоположное числу z = (a+ib), определяется по правилу: (3) -z = -(a + ib) = (-a) + i(-b). Примеры операций: Сложение: (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d), Вычитание: (a+ib) - (c+id) = (a-c) + i(b-d), Умножение: (a+ib) (c+id) = (ac - bd) + i(bc + ad), Деление: (a+ib) : (c+id) = (ac + bd)/(c2 + d2) + i((bc – ad)/(c2 + d2)). 5 Впервые была обозначена так Леонардом Эйлером от латинского слова imaginarius – воображаемый. 40
41 Publizr Home