45

Лекции профессора В.И. Моисеева по R-анализу порядок элемента n стремится к бесконечности, стремясь слиться с а. Тот факт, что а – предел последовательности {an} n=1, обозначается в следующем сокращённом виде: (3) a = limn→an, и читается «а есть предел а n-го (последовательности a n) при n, стремящемся к бесконечности». Последовательность называется предельной, если для неё существует предел. Понятия сходящейся и предельной последовательности в теории вещественных чисел оказываются тесно связанными. Полнота множества вещественных чисел как раз и заключается в том, что любая сходящаяся вещественная последовательность одновременно оказывается предельной, и предел этой последовательности также принадлежит множеству вещественных чисел. Иными словами, это множество включает в себя все свои пределы, - и в этом смысле оно является полным. Задача: используя те же определения сходящейся и предельной последовательности, покажите, что множество рациональных чисел является неполным (рациональные числа – это множество всех дробей вида ±m/n, где m, n – натуральные числа или m=0; в десятичной записи они выражаются как суммы натурального числа (или нуля) и либо конечных, либо периодичных десятичных дробей). На понятии предела и полноте вещественных чисел строится весь классический математический анализ. Приведём здесь некоторые характерные примеры. Вещественная функция f:A→B – это однозначное отображение из множества А в множество В, где А и В – подмножества вещественных чисел, т.е. АR и ВR, так что каждому числу х из А, т.е. каждому хА, функция f сопоставляет единственное число уВ, которое обозначается f(x). А называется областью определения, В – областью значения функции f. Функция f:A→B называется непрерывной в точке х0А, если существует интервал (x0Δ,x0+Δ) = {y: x0-Δyx0+Δ} – множество таких вещественных чисел у, что x0-Δy и уx0+Δ, где Δ – положительное вещественное число, так что интервал (x0-Δ,x0+Δ) является подмножеством А, т.е. (x-Δ,x+Δ)А, и выполнено условие: (4) ε0 (0δΔ) x: |x0-x|δ  |f(x0) – f(x)|ε – для любого ε, где ε0, найдётся такое δ, где δ0 и δΔ, что для любого х верно: |x0-x|δ влечёт |f(x0) – f(x)|ε. Это значит, что чем ближе прилежат точки х к точке х0 в области определения А, тем ближе прилежат точки f(x) к значению функции f в х0, т.е. к f(x0), в области значения В. Иногда образно говорят так: бесконечно малым приращениям аргумента в точке х0 соответствуют бесконечно малые приращения функции в точке f(x0). Более компактно свойство непрерывности функции f в точке х0 можно записать через символ предела следующим образом: 45

46 Publizr Home